Закрыть ... [X]

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.  

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

где S {\displaystyle S} S – площадь любой грани, а H {\displaystyle H} H – высота, опущенная на эту грань.

V = 1 6 a b h sin ⁡ ϕ. {\displaystyle V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi.} V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi.

где D = | 1 cos ⁡ γ cos ⁡ γ 1 |. {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \cos \gamma &1\end{vmatrix}}.} D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \cos \gamma &1\end{vmatrix}}.

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Площадь(Объём) Длина(площадь) биссектрисы Длина медианы Радиус вписанной окружности(сферы) Радиус описанной окружности(сферы) Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра) Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
S = − 1 16 | 0 1 1 1 1 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 | {\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&0&a^{2}&b^{2}&a^{2}&0&c^{2}&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}} {\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&0&a^{2}&b^{2}&a^{2}&0&c^{2}&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}} V = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 α 2, 1 2 α 3, 1 2 α 4, 1 2 1 α 2, 1 2 0 α 3, 2 2 α 4, 2 2 1 α 3, 1 2 α 3, 2 2 0 α 4, 3 2 1 α 4, 1 2 α 4, 2 2 α 4, 3 2 0 | {\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\end{vmatrix}}}}} {\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\end{vmatrix}}}}},где α 1, 2 {\displaystyle \alpha _{1,2}} {\displaystyle \alpha _{1,2}}-расстояние между вершинами 1 и 2
S = 1 2 a h a {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}} {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}} V = 1 3 S 1 H 1 {\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}} {\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}}
S = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } V = 2 3 S 1 S 2 α 3, 4 sin ⁡ ( ϕ 1, 2 ) ребрам {\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})} {\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})},

где ϕ 1, 2 {\displaystyle \phi _{1,2}} {\displaystyle \phi _{1,2}}-угол между гранями 1 и 2, S 1 {\displaystyle S_{1}} {\displaystyle S_{1}} и S 2 {\displaystyle S_{2}} {\displaystyle S_{2}}-площади граней противолежащие вершинам 1 и 2

l c = 2 a b cos ⁡ γ 2 a + b {\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}} l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}} L 1, 2 = 2 S 1 S 2 cos ⁡ ( ϕ 1, 2 2 ) S 1 + S 2 {\displaystyle L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}} {\displaystyle L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}}
m c = 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 2 {\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}} m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}}{2}} m 1 = 3 ( α 1, 2 2 + α 1, 3 2 + α 1, 4 2 ) − ( α 2, 3 2 + α 2, 4 2 + α 3, 4 2 ) 3 {\displaystyle m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4}^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{3}}} {\displaystyle m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4}^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{3}}}
r = 2 S a + b + c {\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}} {\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}} r = 3 V S 1 + S 2 + S 3 + S 4 {\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}} {\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}}
R = a b c 4 S {\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}} R={\frac {abc}{4S}} R = S T 6 V {\displaystyle R={\frac {S_{T}}{6V}}} {\displaystyle R={\frac {S_{T}}{6V}}},где S T {\displaystyle S_{T}} {\displaystyle S_{T}} площадь треугольника со сторонами α 1, 2 α 3, 4, α 1, 3 α 2, 4, α 1, 4 α 2, 3 {\displaystyle \alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2,3}} {\displaystyle \alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2,3}}
cos ⁡ α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c {\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}} \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}} cos ⁡ ( ϕ 1, 2 ) = A 1, 2 16 S 1 S 2 {\displaystyle \cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}} {\displaystyle \cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}},

где ϕ 1, 2 {\displaystyle \phi _{1,2}} {\displaystyle \phi _{1,2}}-угол между гранями 1 и 2, S 1 {\displaystyle S_{1}} {\displaystyle S_{1}} и S 2 {\displaystyle S_{2}} {\displaystyle S_{2}}-площади граней противолежащие вершинам 1 и 2, A 1, 2 {\displaystyle A_{1,2}} {\displaystyle A_{1,2}}-алгебраическое дополнение элемента α 2, 1 2 {\displaystyle \alpha _{2,1}^{2}} {\displaystyle \alpha _{2,1}^{2}} матрицы ( 0 1 1 1 1 1 0 α 2, 1 2 α 3, 1 2 α 4, 1 2 1 α 2, 1 2 0 α 3, 2 2 α 4, 2 2 1 α 3, 1 2 α 3, 2 2 0 α 4, 3 2 1 α 4, 1 2 α 4, 2 2 α 4, 3 2 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\end{pmatrix}}}

a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}} {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }} S 1 Ψ 1 = S 2 Ψ 2 = S 3 Ψ 3 = S 4 Ψ 4 {\displaystyle {\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}} {\displaystyle {\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}},

где S 1, S 2, S 3, S 4 {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}-площади граней противолежащие вершинам 1,2,3,4, Ψ = | 1 − cos ⁡ ( A ) − cos ⁡ ( B ) − cos ⁡ ( A ) 1 − cos ⁡ ( C ) − cos ⁡ ( B ) − cos ⁡ ( C ) 1 | {\displaystyle \Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\-\cos(A)&1&-\cos(C)\-\cos(B)&-\cos(C)&1\end{vmatrix}}}} {\displaystyle \Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\-\cos(A)&1&-\cos(C)\-\cos(B)&-\cos(C)&1\end{vmatrix}}}},где A, B, C {\displaystyle A,B,C} A,B,C-двугранные углы вершины.

α + β + γ = 180 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ } | 1 − cos ⁡ ( ϕ 2, 1 ) − cos ⁡ ( ϕ 3, 1 ) − cos ⁡ ( ϕ 4, 1 ) − cos ⁡ ( ϕ 2, 1 ) 1 − cos ⁡ ( ϕ 3, 2 ) − cos ⁡ ( ϕ 4, 2 ) − cos ⁡ ( ϕ 3, 1 ) − cos ⁡ ( ϕ 3, 2 ) 1 − cos ⁡ ( ϕ 4, 3 ) − cos ⁡ ( ϕ 4, 1 ) − cos ⁡ ( ϕ 4, 2 ) − cos ⁡ ( ϕ 4, 3 ) 1 | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\end{vmatrix}}=0} {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\end{vmatrix}}=0},

где ϕ 1, 2 {\displaystyle \phi _{1,2}} {\displaystyle \phi _{1,2}}-угол между гранями 1 и 2,

R 2 − d 2 = 2 R r {\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr} {\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr} R 2 − d 2 = S 1 S 2 α 1, 2 2 + S 1 S 3 α 1, 3 2 + S 1 S 4 α 1, 4 2 + S 2 S 3 α 2, 3 2 + S 2 S 4 α 2, 4 2 + S 3 S 4 α 3, 4 2 ( S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ) 2 {\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}} {\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}},

где S 1, S 2, S 3, S 4 {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}-площади граней противолежащие вершинам 1,2,3,4


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Пирамида: задания ЕГЭ, решения, ответы Мастер класс пошив наволочки

Отношение площади пирамиды по ребрам Пирамида Хеопса Википедия
Отношение площади пирамиды по ребрам Пирамида вписана в конус
Отношение площади пирамиды по ребрам Правильная пирамида
Отношение площади пирамиды по ребрам Тетраэдр Википедия
Отношение площади пирамиды по ребрам Все С с решениями
Отношение площади пирамиды по ребрам Объём тетраэдра
Отношение площади пирамиды по ребрам Просмотреть
Отношение площади пирамиды по ребрам Пирамиды
Отношение площади пирамиды по ребрам 5


ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ